Das Loch im Donut

Beschreibung

Teilprojekt „Persistenz und Stabilität geometrischer Komplexe“ im Sonderforschungsbereich/Transregio „Diskretisierung in Geometrie und Dynamik“

Thema

Was macht eine Form wie einen Donut aus, die ein Loch hat? Wenn sich Mathematiker wie Ulrich Bauer von der TU München mit Topologie beschäftigen, dann interessieren sie sich für solche Fragen – und in diesem Zuge dafür, wie mathematische Strukturen zusammenhängen. Gemeinsam mit seinem österreichischen Kollegen Herbert Edelsbrun-

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Forschungsförderung

ner leitet Bauer das Teilprojekt „Persistenz und Stabilität geometrischer Komplexe“ im Sonderforschungsbereich/Transregio „Diskretisierung in Geometrie und Dynamik“, der 2016 für weitere vier Jahre verlängert wurde. In dem Teilprojekt wollen die Wissenschaftler neben der Untersuchung von theoretischen Aspekten, etwas vereinfacht gesagt, aus lokalen Daten globale Merkmale konstruieren – und zwar mithilfe von modernen Berechnungsmethoden. „Auf diese Weise können wir Eigenschaften von dynamischen Systemen ermitteln“, so Bauer.

Um ihr Ziel zu erreichen, nutzen die beiden Forscher die „persistente Homologie“, eine spezielle topologische Analysemethode für große Datenmengen. Nützlich ist das zum Beispiel in jenem Bereich der Evolutionsbiologie, der die Stammbäume von immer wieder mutierenden Viren mit teils rekombinierter DNA untersucht.

„Wenn Viren die Äste eines Stammbaums sind, dann sind Rekombinationen Stellen, an denen Äste wieder zusammenwachsen“, erläutert Bauer.

„Das Zusammenwachsen ist für uns ein topologisches Merkmal, wie das Loch im Donut.“ Mit der abstrakten Rechenmethode und einem Datensatz der DNA-Sequenzen lassen sich deutliche Hinweise finden, welche Viren Rekombinationen sind. Um die Daten vergleichen zu können,

müssen ihnen paarweise Abstände zugeordnet werden. Nahe liegende Datenpunkte werden miteinander verbunden. Die resultierenden topologischen Merkmale – wie etwa Löcher – werden auf allen möglichen Skalen berechnet, um am Ende zu entschlüsseln, wie die verschiedenen Skalen zusammenhängen. „Diese topologische Datenanalyse ist äußerst hilfreich, wenn es um Aussagen geht, die die Gesamtheit eines Datensatzes betreffen“, sagt Bauer, „und wenn es ein wesentliches Merkmal gibt, das sich als topologisch auffassen lässt.“

Der Münchener Wissenschaftler hat nun ein Berechnungsverfahren entwickelt, das die Rechenzeit auf rund ein Fünfzigstel verkürzt. Sein Trick: Er reduziert das übliche Speichern von Zwischenergebnissen auf ein Minimum. „Bei allen Berechnungen sind Zwischenschritte notwendig, um beispielsweise Datenpunkte zu verbinden. Das Berechnen dauert gar nicht so lange, was viel mehr Zeit frisst, ist das Abspeichern der Zwischenergebnisse“, erklärt Bauer. „Es hat sich aber herausgestellt, dass nur wenige der Zwischenergebnisse später tatsächlich noch einmal benötigt werden. Daher spart sich das Programm das Abspeichern und berechnet stattdessen einzelne Schritte bei Bedarf einfach neu.“ Was erst einmal nach Mehraufwand klingt, spart in verblüffender Weise viel Zeit.